指数函数及其性质

时间：2024-02-29 来源：养娃家

　　指数函数是重要的基本初等函数之一。一般地，y=a^x函数(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是 R 。 注意，在指数函数的定义表达式中，在a^x前的系数必须是数1，自变量x必须在指数的位置上，且不能是x的其他表达式，否则，就不是指数函数。

　　（1）指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0且不等于1,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑,同时a等于0函数无意义一般也不考虑.

　　（2）指数函数的值域为大于0的实数集合.

　　（3）函数图形都是下凸的.

　　（4）a大于1,则指数函数单调递增；a小于1大于0,则为单调递减的.

　　（5）可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过指数函数程中（当然不能等于0）,函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置.其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置.

　　（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交.

　　（7）函数总是通过（0,1）这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b)

　　（8）显然指数函数无界.

　　（9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数.

　　（10）当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性.

　　（11）当指数函数中的自变量与因变量一一映射时,指数函数具有反函数.

　　指数函数的特点及应用情况

　　指数函数也可以实现区间映射，但对数函数和指数函数互为反函数，因此对数函数和指数函数映射的区间也正好相反。

　　指数函数在自然科学和经济生活中有着广泛的应用，要了解指数函数的实际应用举例，能够应用指数函数的性质解决简单的实际问题。指数函数对很多的真实世界问题—比如说人口增加、放射性衰变、热辐射，以及很多其他的现象，都能够用来建立建模。

　　例题